【線形代数１｜行列の計算の基本！行列の積はなぜこうなる？】 Excelでは、2つのデータに相関性があるかを確認するために、相関係数を求めます。CORREL関数を使いますが、例としてはお客さまと販売する商品との関係など様々なデータ分析に使用できます。この記事では、Excelで相関係数を求める2つの方法をご紹介します。 等しいときに，行と列の内積が定義されます。, 昭和の初期に生まれた84歳の老人です。ふとしたことから行列、ベクトルに興味をもち、これまた偶然にこのサイトに出会いました。（もちろん高校時代に行列やベクトルなど教科書にありませんでした。）説明が非常にわかりやすく、よく理解できました。ありがとうございました。最後のページの行列の積の問題をやり全問正解だったとき自分で拍手をしてしまいました。これからも時間があったら少しずつ勉強してみようと思っております。よろしくお願いいたします。, 行　列　行　列　と頭の中で念仏の様に唱えながら解きました 行ベクトルの要素の個数(列数)と 【線形代数15｜固有値と固有ベクトルは２ステップで求める！】 逆行列が存在しない行列を入力しても結果が無理やり表示されるので 逆行列が存在しない可能性を示した方がよいと思う。 [2] 2020/11/04 23:44 男 / 20歳代 / 高校・専門・大学生・大学院生 / 役に立った / 零因子の作り方のところで質問です。 質問1 なぜ、(a.b) (c.d)の傾きをkとすると、これらは(a.ka)、(c.kc)とおくことができるんでしょうか？ 質問2 1番したの行列の左零因子で、aが0で、kaが1となっています。行列に対応？ 【線形代数13｜部分空間の和空間と共通部分の空間(準備中)】, ・固有値と固有ベクトル A と B が行列または多次元配列の場合、それらのサイズは同じでなければなりません。この場合、関数 dot は A と B をベクトルの集合として扱います。この関数は、サイズが 1 でない最初の配列次元に沿って対応するベクトルのドット積を計算します。 回転行列 (rotation matrix). 行列の成分での微分は、式(4)よりとなることがわかります。これはの成分ですから、 となります。 の微分 次にの微分を考えます。ここでとします。同じように計算してけば、 となります。式(6)においてでの微分を考えると、積の微分公式より です。 分かりやすかったです。, 行列に関してほぼ知識なしの状態でこのページにたどり着きましたが、ちゃんと理解できました。すごく分かりやすかったです。, windows8.1、IEの環境ですが、4(2)と(3)の数字が上下消えていて読めなくなっておりました(他は問題ありませんでした。こちらの機種(NECのタブレットPC)のせいかもしれませんが、念のため報告します。, (5)の式を示す画像が正しく表示されておりません。修正していただけると嬉しいです。, Cは3行2列の行列だから，これに右から掛けることのできるものは，2行？列の行列になります． ⇒ B, Cは3行2列の行列だから，これに左から掛けることのできるものは，?行3列の行列になります． ⇒ B. 行列のかけ算：行列の積は、かけ合わせる2つの行列において、左側の行列の列と右側の行列 の行の次数が等しい時に、計算することができる。この列と行との対応する要 素の積が、計算結果としての行列の1つの要素となる。 行列A,Bに対してA+Bという風に表現します。足し算は、対応する成分を足し合わせるだけでOKです。 (376−4)+(034−4)=(3+07+36+4−4+(−4))=(31010−8) 抽象的に表すと、こんな感じ。 引き算の場合は、プラスをマイナスに置き換えてください。 「対応する成分を」ってことは、行列の縦横の数が合っていないもの同士は加算・減算できないってことになります。なんでも足し引きできた今までの数（スカラー）とは大きく異なる特徴です。 線形代数は行列とベクトルを用いて話が進みます．行列の積の定義はやや複雑で，初学者にとってはどうしてそのように定義するのか不思議に思えてしまうポイントです．この記事では，行列とベクトルのイメージを説明し，行列の積の定義の妥当性を説明します． 数学の具体的な計算にMaximaを使って、数学もMaximaも同時に学んでしまいましょう。今回はMaximaを使って方程式・連立方程式を解いてみたいと思います。厳密に代数的に解く方法、数値的に解く方法、グラフを描画して解く方法をみていきます。また、漸化式から定まる数列について、その各項 … 【線形代数８｜行列式を定義するための置換の性質を理解する】 【線形代数11｜部分空間の同型と部分空間の次元(準備中)】 対称行列Aとは、 AT=A が成り立つような行列のことです。 行列Aのi,j成分をaijと表せば、 aij=aji と表現できます。 この対称行列は非常に良い性質を持っているため（後述）機械学習の様々な場面で現れます。 複素数まで概念を拡張した際に、同様の性質を持つ行列をエルミート行列と呼びますが、機械学習で現れることはおそらく無いでしょう。 直交行列Uとは単位行列をIとして UUT=I が成り立つような行列のことです。 行列Uが … 【線形代数７｜行列の正則性を判定できる行列式のイメージ】 単位行列の特徴の一つである、「 どんな行列との積も、掛けた行列になる 」ことを利用します。 （これは、実数の世界で、「1」をどんな数と掛け合わせても、掛け合わせた数になることと同様です。） 1× 5=5 のように、e *a=a となる。 回転行列点（x, y）を原点まわりに反時計方向にθ度回転する行列は拡大縮小行列点（x, y）を原点に関してX軸方向にSX倍、Y軸方向にSY倍する行列は平行移動行列点（x, y）をX軸方向にTX、Y軸方向にTYだけ移動する行列はただし、平行移 【線形代数12｜線形写像の像と核と次元定理(準備中)】 列ベクトルの要素の個数(行数)が 3つのステップを通じて計算してみると、意外とカンタンに求められるのが分かりますね。 逆行列 \(a^{-1}\) を正しく求められたかチェックしたいときは、元の行列 \(a\) とかけ算してみてください。 積。スカラー、ベクトルまたは行列として返されます。配列 C の行数は入力 A と同じであり、列数は入力 B と同じです。 たとえば、A が m 行 0 列の空行列で B が 0 行 n 列の空行列の場合、A*B は要素がゼロである m 行 n 列の行列になります。 行列の足し算・引き算は、同じ行・同じ列の成分どうしを足し引きして計算します。 対応する成分がすべてそろっている必要があるため、行数と列数がそれぞれ一致する行列どうしでないと足し算・引き算することはできません。 これを、 と のクォータニオン積（quaternion product）という。クォータニオン積はベクトル部とス カラー部より構成されるから、クォータニオンである。 また、クォータニオン積は非可換である（ ）。 クォータニオン積を行列で表記すると となる。 3.4 ノルム ランク（階数，rank）とは任意の（正方行列とは限らない）行列に対して定義される重要な量です。 ランクには同値な定義（性質）がたくさんあります。以下の1〜8のいずれか一つをランクの定義とすれば残りはランクの性質として導けます（証明は線形代数の教科書を参照して下さい）。 8つとも重要です。全て理解するのが理想ですが，まずは自分が親しみやすい定義を一つきちんと覚えましょう。 【線形代数６｜線形独立のイメージと線形独立であるための条件】, ・行列式 【線形代数５｜連立１次方程式が解をもつ条件と解の自由度】 【線形代数４｜行列のランクと，行列が逆行列をもつための条件】 ベクトルの内積 (inner product, dot product, scalar product) と外積 (outer product, cross product, vector product) という演算を用いると幾何の問題を解く考え方が簡単になります。幾何学における内積や外積はもともと3次元空間上で定義されるものなので，まずは3次元空間上で幾何学的な内積・外積を導入し，それらが線形代数的なベクトル演算と等価であることを利用し，内積・外積を2次元平面上に拡張（縮小？）します。 3次元空間上において，ベクトルの内積（ドット積）は a⋅bで表され，以下の式で定 … ●要素数 逆に、対称行列aの固有値がすべて正なら、aは正定値行列です。 ただし、対称行列ではないaの固有値がすべて正だからといって、 （cの転置）ac＞0とは限りません。 例えば、 a ＝ [ 1 4 ] [ 0 1 ] とすると、aは対称行列ではなく、固有値は1です。 しかし、 行列 A のスカラー λ による左スカラー倍（英: left scalar multiplication ）は、 = で与えられる A と同じサイズの行列 λA となる。 つまり、 数式を他のセルへコピーしたときに、正しい参照が行われない場合、相対参照で設定されている可能性があります。セルを$で固定すれば、参照セルが変わらず正しい計算結果が表示されるでしょう。ここでは正しい$の設定方法をご説明します。 【線形代数１｜行列の計算の基本！行列の積はなぜこうなる？】←今の記事 【線形代数３｜正則の条件を簡単に！基本変形と行列の積の話】 実対称行列の大切な性質(固有値が実数・固有ベクトルが直交・直交行列による対角化など)をリスト形式でまとめました。証明も付けられているので、よろしければご覧ください。 線形代数学, 行列とベクトルは線形代数の最初にいきなり定義され，行列のイメージも掴めないままあれよあれよという間に授業が進んでしまうというのがが線形代数を苦手とする人のパターンのように思います．, 行列とベクトルは連立方程式をベースとして理解するとイメージしやすいところがあります．, また，行列の積をどうしてそのように定義するのか理解に苦しむ人も多いのですが，これも連立方程式からイメージが掴めていると自然な発想に基づいていることが分かります．, なお，この記事では実数$\R$を中心に説明しますが，複素数$\C$など一般の体に対しても同様です．, ・行列と数ベクトル 例 右の行列B 1 ～B 9 のうち，2×3行列 A＝ に対して，右から掛けることができるものは，B 7 ，B 8 ，B 9 で（行数が3のものです。 ），積は各々2×1型，2×2型，2×3型になります。 また，2×3行列 A＝ に対して，左から掛けることのできるものは，B 2 ，B 5 ，B 8 で（列数が2のものです。 【線形代数14｜「固有値」「固有ベクトル」「対角化」とは？】 【線形代数２｜連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】←次の記事 原点を通る軸の周りの回転操作による座標変換は1次変換であり，その回転変換の表現行列を 回転行列 (rotation matrix) という．ある軸 の周りに だけ回転（反時計回りを正とする）するときの回転行列 は， . 【線形代数５｜連立１次方程式が解をもつ条件と解の自由度】 【線形代数４｜行列のランクと，行列が逆行列をもつための条件】 2020/12/29 ①bを4×4行列で表すとどうなりますか？ ②b'とb^2は北西行列となりますか？ ③bの逆行列b^(-1)は北西行列ですか？それとも南東行列ですか？ ③bc=北西行列と南東行列の積はどのような形になりますか？ 【線形代数２｜連立１次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】 2020/1/10 【線形代数３｜正則の条件を簡単に！基本変形と行列の積の話】 分散共分散行列というのは、以下のように、資産(証券)の収益率の分散と共分散を行列としてまとめたものです。 例えば、上の表だと、3行(外国債券)1列目(国内債券)の－0.001086は外国債券と国内債券の収益率の共分散です。また、2行(国内株式)2列目(国内株式)の0.063554は同じ項目なので国内株式の分散です(標準偏差(平方根)は0.25(25％)となり、実感に近いと思います。)。 自分で収益率の時系列データを用意できる場合はそこから計算しても良いですし、公的年金や運用会社が公表している相関係数行列 … 「Excel関数による行列の転置・積・逆行列・行列式の計算方法」についての記事のページです。統計解析ソフト「エクセル統計」の開発チームによるブログです。統計に関するさまざまな記事を不定期で書 … 【線形代数10｜数ベクトル空間の部分空間と基底の考え方(準備中)】 【線形代数９｜「行列式」は線形代数の要！定義と性質を解説】, ・部分空間と基底 行列表現のまま計算を進めようとすると、行列積が可換でないことに注意する必要がある。縮約記法で計算すれば気にしなくて良くなる。 さて、ベクトルの行列微分、行列のベクトル微分、行列の行列微分はどうなるのだろう。 行列の積について 1行3列の行列と3行1列の行列を掛け合わせると1行1列の行列になるはずなんですけど、1行1列の行列ってなんなんですか？ (3)とか(0)みたいなのを行列としてみるってことですか？ 【線形代数16｜「固有値」と「固有ベクトル」の性質のまとめ(準備中)】, 実数$a$に対して$y=ax$が成り立つとき，「$y$は$x$に比例する」といい，$a$を比例係数というのでした．, 様々にある関数の中でも$f(x)=ax$で定まる比例の関数$f$は非常に分かりやすい関数のため，他の関数よりも比較的容易に理解することができますね．, つまり，比例では$x$に値を代入すれば$y$の値が分かったように，上の式では$x_1$, $x_2$, $x_3$に値を代入すれば$y_1$, $y_2$の値が分かるという状況になっています．, とおくと，上の等式は$\m{y}=A\m{x}$と表すことができ，あたかも$A$を「比例定数」とし$\m{y}$は$\m{x}$に「比例」していると捉えることができます．, $p,q\in\N$とする．また，$S$を集合とし，$a_{ij}\in S$ ($i=1,\dots,m$, $j=1,\dots,n$)とする．このとき，, のように$a_{ij}$を並べたものを$m\times n$行列 (matrix)といい，$(a_{ij})=(a_{ij})_{1 \le i \le m,1 \le j \le n}$などとも表す．全ての成分が$S$に属するような$m\times n$行列全体の集合を$\Mat_{mn}(S)$などと表す．, $\Mat_{n}(S):=\Mat_{nn}(S)$とし，$\Mat_{n}(S)$の元を$n$次正方行列 (square matrix)または単に$n$次行列という．, をそれぞれ行列$(a_{ij})$の$p$行，$q$列といい，$a_{pq}$を$\m{(p,q)}$成分という．, 集合$S$に対して，$\Mat_{n1}(S)$の元を$S$成分の$n$次列ベクトル (column vector)，$\Mat_{1n}(S)$の元を$S$成分の$n$次行ベクトル (row vector)という．, です．また，行ベクトルはコンマ“,”を用いて，$[a_{11},\dots,a_{1n}]$のようにも表します．たとえば，, $\R^n$は$n$本の座標軸のある直交座標として考えることができます．例えば，$\m{a}:=\bmat{3\\1}\in\R^2$は, をそれぞれ零ベクトル (zero vector)，零行列 (zero matrix)という．, $A\in\Mat_{n}(\R)$について，第$(k,k)$成分 ($k=1,\dots,n$)を$A$の対角成分 (diagonal element)といい，対角成分以外の成分が$0$なら$A$を対角行列 (diagonal matrix)という．また，第$(k,k)$成分が$a_{k}$の対角行列を, と表す．とくに，対角成分が全て１の対角行列$\diag{(1,\dots,1)}$を単位行列 (identity matrix)という．, 零ベクトルは$\m{0}$，零行列は$O$，単位行列は$I$と表すことが多く，次数を明示するときには，添え字として, とするのが普通です．なお，単位行列はドイツ語でEinheitsmatrixと表記することから，$E$で表すこともよくあります．, 行列$A$の第$(i,j)$成分を第$(j,i)$成分にとり直した行列を$A$の転置行列 (transposed matrix)といい，${}^{t}A$, $A^{T}$などと表す．, すなわち，$A=(a_{ij})$とすると，$A^{T}={}^{t}A=(a_{ji})$である．, $A=\bmat{1&2\\3&4\\5&6}$, $B=\bmat{2\\-3\\1}$に対して，, 任意の行列$A$に対して，$A$の転置行列の転置行列は$A$である．すなわち，$(A^{T})^{T}=A$である．, $\alpha\in\R$に対して，$1\times1$行列$[\alpha]$は単なる実数と同じと考えます．, 単なる$\alpha\in\R$を行列やベクトルと区別してスカラー (scalar)といいます．, $A=(a_{ij}), B=(b_{ij})\in\Mat_{mn}(\R)$とする．このとき，$A=(a_{ij})$の$\alpha\in\R$倍と，和，差$A\pm B$をそれぞれ, すなわち，$\alpha$倍は全ての成分に$\alpha$をかければ良く，和と差は同じ成分同士で和と差を取れば良いわけですね．, ベクトルは行列の特別な場合(行または列が１つの行列)なので，ベクトルについても同様に$\alpha\in\R$倍と和が定義されます．, $\m{a}\in\R^n$に対して，$\m{a}+\m{a}’=\m{0}$となる$\m{a}’\in\R^n$を$\m{a}$の逆ベクトル (inverse vector)といい，$\m{a}’=-\m{a}$と表す．, $\m{a}\in\R^n$の逆ベクトル$-\m{a}$は$(-1)\m{a}$に一致します．つまり，$-\m{a}=(-1)\m{a}$ですね．, $\m{a},\m{b}\in\R^n\setminus\{\m{0}\}$が平行であるとは，$k\m{a}=\m{b}$をみたす$k\in\R$が存在することをいう．, $\m{a},\m{b}\in\R^{n}$が平行であるとは，図形的には$\m{a}$の伸び縮みだけで$\m{b}$に一致させられることをいうわけですね．, ただし，$k<0$の場合には$\m{a}$と$\m{b}$は逆向きになります(すなわち，逆向きに伸び縮みさせると考えます)．, なお，複素ベクトルの場合にも同様に定義されます．よって，$\m{a}:=\bmat{1\\2\\3},\m{b}:=\bmat{2\\4\\6},\m{c}:=\bmat{-i\\-2i\\-3i}\in\C^{3}$は, を満たすので，$\m{a}$, $\m{b}$, $\m{c}$は全て互いに平行となります．, $\m{x}=[x_{1},\dots,x_{n}]^{T}\in\R^n$, $A=(a_{ij})\in\Mat_{mn}(\R)$に対して，$\m{x}$に左から$A$をかけた積$A\m{x}$を, 行列とベクトルの積については，定義から$B\in\Mat_{nm}(\R)$と$\m{x}\in\R^n$に対して，$B\m{x}\in\R^m$となりますね．, よって，$B\m{x}$にさらに左から$A\in\Mat_{m\ell}(\R)$をかけると$A(B\m{x})\in\R^{\ell}$となります．, さて，ここで行列$A$と$B$の積$AB$をするとき，結合法則$A(B\m{x})=(AB)\m{x}$が成り立っていて欲しいと思うのは自然なことですね．, たとえば，$A=\bmat{2&2\\-3&1}$, $B=\bmat{-2&0\\3&1}$, $\m{x}=\bmat{x\\y}$の場合を考えると，, となるので，$AB=\bmat{2&2\\9&1}$と定義されていれば，結合法則$A(B\m{x})=(AB)\m{x}$が成り立ちます．, このように，行列の積が結合法則をもつように定義しようとすると，行列の積の定義は以下のようになります．, $A=(a_{ij})\in\Mat_{mn}(\R)$, $B=(b_{ij})\in\Mat_{n\ell}(\R)$とする．このとき，積$AB$を以下で定義する．, たとえば，$A=\bmat{1&2\\3&6}$, $B=\bmat{-1&3\\1&0}$, $C=\bmat{2&0\\-1&0}$とすると，, さて，この例から$AB\neq BA$, $AC=O$となることが分かります．このように，, $A=(a_{ij})\in\Mat_{mn}(\R)$, $B=(b_{ij})\in\Mat_{n\ell}(\R)$に対して，積$AB$を次の命題の形で表すことはとてもよくあります．, $A=(a_{ij})\in\Mat_{mn}(\R)$, $B=(b_{ij})\in\Mat_{n\ell}(\R)$を, 逆に，もし(1)を満たさなければ，すなわち$T\neq O$ならば，$A=I$としたときに$AT=T\neq O$となって(2)を満たさない．よって，この対偶を考えることにより$(2)\Ra(1)$が従う．, $A=(a_{ij})$とする．第$k$成分が1で他の成分が0の$\R^n$のベクトルを$\m{e}_k$とすると，$I=[\m{e}_{1},\dots,\m{e}_{n}]$と表せるから，, が従う．$IA=A$も同様に計算から従う．よって，$(1)\Ra(2)$が成り立つ．, 逆に，もし(1)を満たさなければ，すなわち$T\neq I$であれば，$A=T$としたときに$AT=T\neq I$となって(2)を満たさない．よって，この対偶を考えることにより$(2)\Ra(1)$が従う．, $A\in\Mat_{mn}(\R)$, $B\in\Mat_{n\ell}(\R)$に対し，$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$である．, $A\in\Mat_{mn}(\R)$, $B\in\Mat_{n\ell}(\R)$を$A=\bmat{\m{a}_1\\\vdots\\\m{a}_m}$, $B=[\m{b}_1,\dots,\m{b}_{\ell}]$とすると，, をみたす$B\in\Mat_n(\R)$が存在するとき，$B$は$A$の逆行列 (inverse matrix)であるといい，$B$を$A^{-1}$と表す．また，逆行列をもつ行列は正則 (regular)であるという．, しかし，実数の場合には０でなければ逆数を持ちますが，行列の場合には零行列$O$でなくても逆行列を持たないことがあるという点は大きく異なります．, 例えば，$\bmat{1&2\\2&4}$は逆行列を持たないことがのちの記事で(それほど難しくなく)分かります．, 正則行列$A=[\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}]$に対して，$\m{a}_{k}=\m{0}$となる$k\in\{1,\dots,n\}$が存在するとする．, このとき，$A$の逆行列を$B$とすると，から$BA=[B\m{a}_{1},\dots,B\m{a}_{n}]$だから，$BA$の第$k$行は零ベクトルであるが，$BA=I$だからこれは矛盾である．, よって，全ての$k\in\{1,\dots,n\}$に対して$\m{a}_{k}\neq\m{0}$である．, 正則な$A,B\in\Mat_{n}(\R)$に対して，積$AB$は正則であり，$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$が成り立つ．, ・行列と数ベクトル 行は漢字に横の線があるから横　列は縦の漢字があるから縦とも覚えてみました, 私は、行列について初心者でしたが、 行列に付随するもっとも単純な形の乗法としてスカラー乗法が挙げられる（これはクロネッカー積の特別の場合になっている）。. 【線形代数６｜線形独立のイメージと線形独立であるための条件】, このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。, $f(x)=ax$で定まる比例の関数$f$は非常に分かりやすい関数のため，他の関数よりも比較的容易に理解することができますね．, 比例では$x$に値を代入すれば$y$の値が分かったように，上の式では$x_1$, $x_2$, $x_3$に値を代入すれば$y_1$, $y_2$の値が分かるという状況になっています．, 上の等式は$\m{y}=A\m{x}$と表すことができ，あたかも$A$を「比例定数」とし$\m{y}$は$\m{x}$に「比例」していると捉えることができます．, $\alpha$倍は全ての成分に$\alpha$をかければ良く，和と差は同じ成分同士で和と差を取れば良いわけですね．, ここで行列$A$と$B$の積$AB$をするとき，結合法則$A(B\m{x})=(AB)\m{x}$が成り立っていて欲しいと思うのは自然なことですね．, 実数の場合には０でなければ逆数を持ちますが，行列の場合には零行列$O$でなくても逆行列を持たないことがあるという点は大きく異なります．, 行列$A_1:=\bmat{1&2\\4&5}$, $A_2:=\bmat{3\\6}$, $A_3:=[7,8]$, $A_4:=[9]$によって，, 行ベクトル$\m{b}_1=[1,2,3]$, $\m{b}_2=[4,5,6]$, $\m{b}_3=[7,8,9]$によって，.

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